LAS CÚBICAS PLANAS

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El objeto deltexto es el estudio generalizado, a través de un análisis sistematizado, de lascúbicas planas reales, esto es, de las curvas algébricas con tres puntos deintersección con una recta del plano, definidas por la anulación de polinomiosenteros de tercer grado en el sistema coordenado lineal empleado, con todos loscoeficientes reales, que son representativas de cúbicas asimismo reales. Laspublicaciones [5] y [6] del autor,incluídas en las Referencias, son un antecedente significativo.El Capítulo I esuna revisión de la propia definición y de las propiedades fundamentales de lascúbicas planas, justificativa de la distinción entre las tres clases de cúbicasC6, C4 y C3. Los Capítulos II yIII, que son conjuntamente trasunto muy ampliado de [6], están dedicados a laconstrucción de la familia de C6-cúbicas K(F,D), que generaliza dos cúbicastriangulares particulares K y K? estudiadas en [5], utilizando una transformación cuadrática involutiva cualquierarelativa al triángulo de referencia, sustitutiva de la inversión triangularaplicada en la anterior generación unificada de K y K? en [5].El Capítulo IV esuna explotación de propiedades demostradas en los dos anteriores, de las que sederivan invarianzas generalizadas con relación a infinitas transformacionescuadráticas involutivas, cada una de ellas relativa a un punto cualquiera de lacúbica. Se apuntan asimismo extensiones de estas propiedades a las cúbicas detipos C3 y C4.El objeto delCapítulo V es la definición de pares de cúbicas K(F,D) y K(f,D)que generalizan una relación paralela análoga a la existente entre las cúbicas K y K?en el contexto global de las C6-cúbicas, mientras el Capítulo VI es laaplicación de las propiedades de la familia general de cúbicas K(F,D)a la definición particular de las cúbicas Ky K? específicas. Se prueba laincidencia de cada una de ellas con sendos conjuntos de 46 y 44 puntos significativos,relativos al triángulo base, obtenidos mediante construcciones geométricaselementales.Los Capítulos VII,VIII y IX se dedican, de nuevo, al estudio de propiedades generales de los trestipos distintos de cúbicas.En primer lugar,en el Capítulo VII se establece una nueva caracterización involutiva de lascúbicas, si bien, más restringida, por ser sólo aplicable, en común, a lascúbicas C6 y C4.En el CapítuloVIII se formaliza, por el contrario, una generación integral común de lascúbicas C6, C4 y C3, mediante aplicación de una transformación cuadráticainvolutiva general, referida a un haz de cónicas, y su adaptación a lageneración de cada uno de los tipos mediante selecciones convenientes del haz.Los resultados obtenidos representan una extensión del planteamiento referidobásicamente a las C6-cúbicas en los Capítulos II a VI anteriores. El Capítulo IXestá dedicado, igualmente, a una generación alternativa general, extendida, denuevo, a los tres tipos de cúbicas, mediante intersecciones de pares deelementos, respectivamente correspondientes a sendos haces, lineal ycuadrático, entre los que se establece una relación homográfica. Estasegunda generación completa es, así,paralela, a la generación clásica de las cónicas, mediante intersección deelementos homólogos en una homografía entre dos haces lineales.Finalmente, elCapítulo X se dedica, en exclusiva, a las cúbicas unicursales, es decir, a losdos tipos de cúbicas C4 y C3, con especial incidencia en la consideración de lapropiedad analagmática y sus derivaciones secuenciales.Palabras clave: Cúbicas 2D,transformación cuadrática involutiva, punto básico, propiedad analagmática,cúbica elíptica, cúbica unicursal, transformación homográfica, configuración.Key words: Cubics 2D, quadratic involutivetransformation, pivot, anallagmatic property, elliptic cubic, unicursal cubic,homography, configuration.

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